สมบัติการบวกและการคูณของจำนวนเต็มบวก

การบวก
               - การบวกเลขสองจำนวน เราสามารถที่จะเอาจำนวนใดเป็นตัวตั้ง และ              
เอาจำนวนใดเป็นตัวบวกก็ได้ผลลัพท์จะเท่ากัน เช่น.-
                25 + 37 = 37 + 25 หรือ
                120 + 154 = 154 + 120
                a + b = b + a เมื่อ a และ b แทนจำนวนเต็มบวกใด ๆ
               - การบวกจำนวนเต็มทุกจำนวนและศูนย์ จะมีสมบัติการบวกดังกล่าวข้างต้น
เราเรียกสมบัติการบวกนี้ว่า สมบัติการสลับที่สำหรับการบวก

การคูณ
               - การคูณเมื่อเราเอาจำนวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย์ สองจำนวนคูณกัน เรา
สามารถที่จะเอาจำนวนใดเป็นตัวตั้งหรือจำนวนใดเป็นตัวคูณก็ได้ ผลลัพท์ที่
ได้จากการคูณจำนวนสองจำนวนนั้นจะเท่ากัน เช่น.-
               2 × 3 = 3 × 2 หรือ
               36 × 45 = 45 × 36 หรือ
               152 × 45 = 45 × 152 หรือ
               a × b = b × a เมื่อ a และ b แทนจำนวนเต็มบวกใด ๆ
เราเรียกสมบัติการคูณนี้ว่า สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ
              - การพิจารณาการบวกจำนวนมากกว่าสองจำนวนขึ้นไป เช่นในการหา
ผลบวกของ 5 + 25 + 32
              - สมมติเราจะไม่เปลี่ยนแปลงลำดับของจำนวนทั้งสามที่เรียงไว้ ทำได้ดังนี้.-
              1. เราจะหา 5 + 25 ก่อน เราจะเขียน 5 + 25 ไว้ในวงเล็บแล้วหา
ผลบวกดังนี้ ( 5 + 25) + 32 = 30 + 32 = 62 หรือ
              2. เราจะหา 25 + 32 ก่อน เราจะเขียน 25 + 32 ไว้ในวงเล็บแล้วหา
ผลบวกดังนี้ 5 + (25 + 32 ) = 5 + 57 = 62
จากข้อ 1 และ 2 จะเห็นได้ว่า.-
              ( 5 + 25) + 32 = 5 + (25 + 32 ) เพราะต่างก็เท่ากับ 62
              - จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนและศูนย์ดังกล่าวข้างต้น เราเรียกว่า:-สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการบวก
              - ในการเขียนสมบัติต่าง ๆ ของจำนวนเต็มบวก เพื่อให้สั้นและกระทัดรัด
เราจะใช้ประโยคที่มีตัวแปรแทนจำนวนบวกใด ๆ ประโยคข้างล่างเป็นจริง
สำหรับทุกจำนวนที่แทนด้วย a , b และ c                                                                      
การบวก การคูณสมบัติการสลับที่
             - ให้ a และ b แทนจำนวนเต็มบวก
             ใด ๆ จะได้:-
              a + b = b + a - ให้ a และ b แทนจำนวนเต็มบวก
             ใด ๆ จะได้:-
              a × b = b × aสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
              - ให้ a , b และ cแทนจำนวนเต็ม
              บวกใด ๆ จะได้.-
              (a + b)+c = a + (b + c) - ให้ a , b และ cแทนจำนวนเต็ม
              บวกใด ๆ จะได้.-
              (a × b)×c = a × (b × c)

              - สมบัติอีกสมบัติหนึ่งที่จะเชื่อมระหว่างการบวกกับการคูณดังตังอย่าง.-
              3 × ( a + b) = ( 3 × a ) + ( 3 × b )
              - ถ้าสังเกตให้ดีจะเห็นว่าเอาจำนวนที่อยู่นอกวงเล็บคูณเข้าไปในวงเล็บ
ได้ 3 × a ลงเล็บหนึ่ง บวกกับ 3 × b อีกวงเล็บหนึ่ง หรือ
( 5 + 8 ) × 9 = ( 5 × 9) + ( 8 × 9 ) ประโยคนี้ก็เช่นเดียวกับข้างบน
เราจึงเรียกสมบัตินี้ว่า สมบัติการแจกแจงสมบัติการแจกแจง
              - ให้ a , b และ c แทนจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว:-
                 a × ( b + c) = (a × b) + ( a × c)
                ( b + c ) × a = ( b × a ) + ( c × a )
ข้อสังเกต อันที่จริงแล้ว สมบัติการสลับที่สำหรับการบวกการคูณ สมบัติ
                การเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการบวกการคูณ สมบัติการแจกแจง เป็นสมบัติ
                ของทุกจำนวนซึ่งจะได้พบและใช้ในตอนต่อไป
หมายเหตุ จากประโยคที่เขียนแสดงสมบัติต่าง ๆ จะสังเกตเห็นว่ามีเครื่อง
                 หมายวงเล็บเข้ามาเกี่ยวข้อง เช่น.-
                 a × ( b + c) เป็นการแสดงลำดับของการคำนวณซึ่งเราจะต้อง
                 หาผลบวกของจำนวนที่อยู่ในวงเล็บก่อนแล้วจึงนำ
                 มาคูณกับ a แต่ถ้าเป็น.-
                 (a × b) + ( a × c) หมายความว่าให้หา a × b และ a × c  
                ก่อนแล้วค่อยเอาผลคูณทั้งสองมาบวกกัน
                - ประโยชน์ของนำสมบัติการแจกแจงไปใช้เช่น.-
                - จงหาผลลัพท์ของ 6 × 68 การคำนวณหาผลคูณนี้ถ้าจะให้เร็วขึ้นเรามา
ใช้สมบัติการแขกแจงช่วยโดยการ แจกแจงดังนี้.-
                 6 × ( 60 + 8 ) = (6 × 60)+ ( 6 × 8 )
                                       = ( 360 ) + ( 48 )
                                       = 408 เป็นต้น
สรุป จากบทเรียนนี้เราทราบสมบัติต่าง ๆ ดังนี้
        1. สมบัติการสลับที่สำหรับการบวก
        2. สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ
        3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการบวก
        4. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการคูณ
        5. สมบัติการแจกแจงการบวกและการคูณ
- ในการคำนวนโจทย์ต่าง ๆ เราจะต้องพิจารณาจากโจทย์ว่าเราจะ
ใช้สมบัติใดในการแก้ปัญหาข้อนั้น ๆ

ที่มา

http://math.thepbodint.ac.th/topmenu.php?c=listknowledge&q_id=438