สมบัติของจำนวนจริง

• สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง                                    

     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

     1. สมบัติการสะท้อน a = a

     2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

     3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

     4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

     5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

    

• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

    1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง                                                  

    2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

    3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

    4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

    5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

  กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

     1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

     2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

     3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

     4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

    นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

    5. อินเวอร์สการคูณ a · a^-1 = 1 = a · a^-1, a ≠ 0

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a^-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

     6. สมบัติการแจกแจง

               a( b + c ) = ab + ac

               ( b + c )a = ba + ca

     จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้

 ทฤษฎีบทที่ 1

 กฎการตัดออกสำหรับการบวก

  เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

  ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b

  ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

                            ทฤษฎีบทที่ 2

                           กฎการตัดออกสำหรับการคูณ

                             เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

                             ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b

                             ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

                            ทฤษฎีบทที่ 3

                            เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

                             a · 0 = 0

                             0 · a = 0

                             ทฤษฎีบทที่ 4

                            เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ                                                            

                            (-1)a = -a

                            a(-1) = -a

                            ทฤษฎีบทที่ 5

                            เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

                            ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

                            ทฤษฎีบทที่ 6

                           เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

                            a(-b) = -ab

                           (-a)b = -ab

                           (-a)(-b) = ab

        เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

 • การลบจำนวนจริง

   บทนิยาม                     เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

                                       a- b = a + (-b)

 นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b

 • การหารจำนวนจริง

  บทนิยาม                      เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0

a/b = a(b-1)

  นั่นคือ a/b คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

           

ที่มา

http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_opt.html