ann: เมทริกซ์

เมทริกซ์

ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ (อังกฤษ: matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้
เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์
ในบทความนี้ แต่ละช่องของเมทริกซ์จะบรรจุจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน หากไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น

การจัดเรียงสมาชิกของเมทริกซ์

นิยาม

เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของจริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น

$\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & -3 & -4 \end{bmatrix}$

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 1

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

เราเรียกเมทริกซ์ที่มี

m

แถว และ

n

หลัก เรียกว่า เมทริกซ์ $m \times n$ เราเรียกจำนวน

m

และ

n

ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์
เราใช้สัญญลักษณ์ $A = (a_{i,j})_{m \times n}$ เพื่อหมายถึง เมทริกซ์

A

ซึ่งมี

m

แถว และ

n

หลัก โดยที่

a i, j

(หรือ

a i j

) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว

i

และ หลัก

j

ของเมทริกซ์

$A=A_{m \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & \cdots & a_{mn}\\ \end{bmatrix}$

การกระทำระหว่างเมทริกซ์

การบวก

ให้ $A = (a_{i,j})_{m \times n}$ และ $B = (b_{i,j})_{m \times n}$ เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก

A + B

ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด $m \times n$ ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก $C = (c_{i,j})_{m \times n} = A+B$ แล้ว

c i, j = a i, j + b i, j

ยกตัวอย่างเช่น

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง

การคูณด้วยสเกลาร์

กำหนดเมทริกซ์ $A = (a_{i,j})_{m \times n}$ และจำนวน

c

เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์

c A

ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด $m \times n$ ที่คำนวณโดยการนำ

c

ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ

A

กล่าวคือ หาก $B = (b_{i,j})_{m \times n} = cA$ แล้ว

b i, j = c a i, j

ยกตัวอย่างเช่น

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด $m \times n$ ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ

m n

ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง

การคูณ

ถ้า $A = (a_{i,j})_{m \times n}$ และ $B = (b_{i,j})_{n \times p}$ เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ

A

เท่ากับจำนวนแถวของ

B

แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ

A B

ว่าเป็นเมทริกซ์ $C = (c_{i,j})_{m \times p}$ โดยที่

$c_{i,j} = a_{i,1} b_{1,j} + a_{i,2} b_{2,i} + \cdots + a_{i,n} b_{n,i} = \sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}$

กล่าวคือสมาชิกในแถว

i

หลัก

j

ของผลคูณ

A B

คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก

i

ของ

A

และสมาชิกของคอลัมน์

B

ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง

n

ผลคูณนั้นมาบวกกัน
การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ $a_i = (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots, a_{i,n})$ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว

i

ของ

A

และให้ $b_j = (b_{1,j}, b_{2,j}, \ldots, b_{n,j})$ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก

j

ของ

B

แล้ว เราจะได้ว่า $c_{i,j} = a_i \cdot b_j$ เมื่อ $a_i \cdot b_j$ คือผลคูณจุดของ

a i

และ

b j

เช่น

ให้ $A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{bmatrix}$

และ $B = \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2} \\ b_{3,2} & b_{3,2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \\ \end{bmatrix}$

แล้ว $A \times B = \begin{bmatrix} a_1 \cdot b_1 & a_1 \cdot b_2 \\ a_2 \cdot b_1 & a_2 \cdot b_2 \\ \end{bmatrix}$

และ

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้

สมบัติการเปลี่ยนหมู่: $(A B) C = A (B C)$ สำหรับเมทริกซ์ $A$ ขนาด $k \times m$ , $B$ ขนาด $m \times n$ , และ $C$ ขนาด $n \times p$ ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
สมบัติการแจกแจงทางขวา: $(A + B) C = A C + B C$ สำหรับเมทริกซ์ $A$ และ $B$ ขนาด $m \times n$ และ $C$ ขนาด $n \times p$ ใดๆ
สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: $C (A + B) = C A + C B$ สำหรับเมทริกซ์ $A$ และ $B$ ขนาด $m \times n$ และ $C$ ขนาด $k \times m$ ใดๆ

คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์

A

ขนาด $m \times n$ และ

B

ขนาด $n \times p$ ใดๆ

ถ้า $m \neq p$ แล้ว ผลคูณ $B A$ ไม่มีนิยาม
แม้ $m = p$ แต่ถ้า $m \neq n$ แล้ว $A B$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $m \times m$ ส่วน $B A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $n \times n$ ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
แม้ $m = n = p$ แต่ส่วนมากแล้ว $A B$ มักจะมีค่าไม่เท่ากับ $B A$ ยกตัวอย่างเช่น

$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 10 & 12 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 8\\ 5 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

เรากล่าวว่าเมทริกซ์

A

แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์

B

ถ้า

A B = - B A

เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด
ข้อสังเกตุ i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column

การสลับเปลี่ยน

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m×n คือ A^T ขนาด n×m ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ A^tr, หรือ ^tA, หรือ A' ) ซึ่ง A^T[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

เมทริกซ์จัตุรัส

เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด n × n ยกเว้น n= 1
เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย I_n ขนาด n คือเมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด มีคุณสมบัติ MI_n = M และ I_nN = N สำหรับทุกๆเมทริกซ์M ขนาด m × n และเมทริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:

$\mathbf{I}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ

เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นก็คือ $\mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{A}$ หรือ $a i, j = a j, i$ สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ $\mathbf{A}^\mathrm{T}=-\mathbf{A}$ หรือ $a i, j = - a j, i$ สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับสมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้ $a_{i,j}=\overline{a}_{j,i}$ หรือเขียนแทนด้วยการสลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า $\mathbf{A}^\ast = \mathbf{A}$
เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนานเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ $\,\! a_{i,j}=a_{i+1,j+1}$