วันอังคารที่ 31 มกราคม พ.ศ. 2555

ลำดับ

  บทนิยาม      ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่  1 เรียกว่า ลำดับ
 ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    { 1, 2, 3, …, n }  เรียกว่า    ลำดับจำกัด
 และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }  เรียกว่า   ลำดับอนันต์
       1.    ความหมายของลำดับ
                        ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป
                        กล่าวคือ  ถ้า a  เป็น ลำดับจำกัด  จะเขียนแทนด้วย   a1,   a2,  a3,  …,  an 
                        และ        ถ้า a  เป็น ลำดับอนันต์  จะเขียนแทนด้วย  a1,  a2,  a3,  …,  an,   
                        เรียก           a1   ว่า  พจน์ที่ 1  ของลำดับ        
                        เรียก          a2   ว่า  พจน์ที่ 2  ของลำดับ        
                        เรียก          a3   ว่า  พจน์ที่ 3  ของลำดับ        
                                            
                        และเรียก   an  ว่า  พจน์ที่ n  ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ
    2.        ตัวอย่างของลำดับ
                       



                                   


 1)   4,  7,  10,  13    เป็น   ลำดับจำกัดที่มี
                               a1     =      4            a2      =      7        a3        =      10         a4  =         13                              
                                 และ     an   =            3n + 1
 2)    – 2,  1,  6,  13,    เป็น   ลำดับอนันต์    ที่มี
                                a1     =         – 2       a2     =        1      a3       =       6          a4    =        13
                              
และ   an    =        n2 – 3
            การเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n  หรือพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน
           
  ตัวอย่าง
 1)      ลำดับ  4,  7,  10,  13    อาจเขียนแทนด้วย
an     =  3n  +  1                                เมื่อ  n    {  1,  2,  3,  4  }
  2)     ลำดับ   – 2 ,  1,  6,  13,    อาจเขียนแทนด้วย
                                an     =      n2 – 3                              เมื่อ  n  เป็นจำนวนเต็มบวก
หมายเหตุ       ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน   
      ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็น  ลำดับอนันต์
    3. ตัวอย่าง ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับจำกัด หรือ ลำดับอนันต์
  
 ลำดับจำกัด  เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n พจน์แรก
   ลำดับอนันต์  เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
    1)    6,  12,  18,  24,  30                                                                     เป็นลำดับจำกัด
    2)    2,  4,  8,  16,  …,  ,                                                       เป็นลำดับอนันต์
    3)    an   =   5n  – 2   เมื่อ   n    {  1,  2,  3,  …,  20 }             เป็นลำดับจำกัด
    4)                                                                             เป็นลำดับอนันต์
    5)    an   =    n2  +  3                                                                           เป็นลำดับอนันต์ 
                 
                              
    ลำดับเรขาคณิต
      บทนิยาม       ลำดับเรขาคณิต  คือ  ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n  เป็นค่าคงที่ ทุกค่าของจำนวนนับ n  และเรียกค่าคงที่นี้ว่า   อัตราส่วนร่วม  
                                          ถ้า  a1,    a2,    a3,    …,    an,    an+1   เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จะได้   
                                                  เท่ากับค่าคงที่  เรียกค่าคงที่นี้ว่า   อัตราส่วนร่วม (Common  ratio)    เขียนแทนด้วย    r    

      ตัวอย่าง    ลำดับเรขาคณิต

                      
                              
    ลำดับเลขคณิต  บทนิยาม     ลำดับเลขคณิต   คือ  ลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1  ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า  ผลต่างร่วม  ( Common  difference )
      ถ้า  a1,  a2,  a3,  …,  an,  an+1 ,  เป็นลำดับเลขคณิต  แล้ว
                           จะได้  a2 – a1  =   a3   a2   =      =   an+1 an    เท่ากับ  ค่าคงที่ 
                           เรียกค่าคงที่นี้ว่าผลต่างร่วม ” (Common difference)    เขียนแทนด้วย   d 
                    จากบทนิยาม   d            =        an+1     an    
                           หรือ      an+1      =        an    +    d
      ที่มา

เมทริกซ์

                                          
เมทริกซ์

ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ (อังกฤษ: matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้
เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์
ในบทความนี้ แต่ละช่องของเมทริกซ์จะบรรจุจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน หากไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น



                                                                                                
การจัดเรียงสมาชิกของเมทริกซ์

นิยาม  

     เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของจริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น
\begin{bmatrix}
1 & 5 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & -3 & -4 \end{bmatrix}
เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 1
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5
เราเรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว และ n หลัก เรียกว่า เมทริกซ์  m \times  n เราเรียกจำนวน m และ n ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์
เราใช้สัญญลักษณ์ A = (a_{i,j})_{m \times n} เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ A ซึ่งมี m แถว และ n หลัก โดยที่ ai,j (หรือ aij) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว i และ หลัก j ของเมทริกซ์
A=A_{m \times n}=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n}\\
\vdots &        & \ddots &        & \vdots\\
\vdots &        &        & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & \cdots & a_{mn}\\
\end{bmatrix}

การกระทำระหว่างเมทริกซ์                

 การบวก 

         ให้ A = (a_{i,j})_{m \times n} และ B = (b_{i,j})_{m \times n} เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก A + B ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m \times n ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก C = (c_{i,j})_{m \times n} = A+B แล้ว ci,j = ai,j + bi,j ยกตัวอย่างเช่น

  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}
การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง

 การคูณด้วยสเกลาร์

กำหนดเมทริกซ์ A = (a_{i,j})_{m \times n} และจำนวน c เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์ cA ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m \times n ที่คำนวณโดยการนำ c ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ A กล่าวคือ หาก B = (b_{i,j})_{m \times n} = cA แล้ว bi,j = cai,j ยกตัวอย่างเช่น
2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}
จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด m \times n ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ mn ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง

 การคูณ

ถ้า A = (a_{i,j})_{m \times n} และ B = (b_{i,j})_{n \times p} เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ AB ว่าเป็นเมทริกซ์ C = (c_{i,j})_{m \times p} โดยที่
c_{i,j} = a_{i,1} b_{1,j} + a_{i,2} b_{2,i} + \cdots + a_{i,n} b_{n,i} = \sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}
กล่าวคือสมาชิกในแถว i หลัก j ของผลคูณ AB คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก i ของ A และสมาชิกของคอลัมน์ B ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง n ผลคูณนั้นมาบวกกัน
การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ a_i = (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots, a_{i,n}) เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว i ของ A และให้ b_j = (b_{1,j}, b_{2,j}, \ldots, b_{n,j}) เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก j ของ B แล้ว เราจะได้ว่า c_{i,j} = a_i \cdot b_j เมื่อ a_i \cdot b_j คือผลคูณจุดของ ai และ bj เช่น
ให้  A = 
  \begin{bmatrix}
    a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
    a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
  \end{bmatrix} = 

  \begin{bmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
  \end{bmatrix}
                      

 และ 
B = 
  \begin{bmatrix}
    b_{1,1} & b_{1,2} \\
    b_{2,1} & b_{2,2} \\
    b_{3,2} & b_{3,2} \\
  \end{bmatrix} = 

  \begin{bmatrix}
    b_1 & b_2 \\
  \end{bmatrix}
                                  

แล้ว  A \times B = 

  \begin{bmatrix}
    a_1 \cdot b_1  &  a_1 \cdot b_2 \\
    a_2 \cdot b_1  &  a_2 \cdot b_2 \\
  \end{bmatrix}
                         
 
          และ

  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{bmatrix}
\times
  \begin{bmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
     (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\
    (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{bmatrix}
การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้
  • สมบัติการเปลี่ยนหมู่: (AB)C = A(BC) สำหรับเมทริกซ์ A ขนาด k \times m, B ขนาด m \times n, และ C ขนาด n \times p ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
  • สมบัติการแจกแจงทางขวา: (A + B)C = AC + BC สำหรับเมทริกซ์ A และ B ขนาด m \times n และ C ขนาด n \times p ใดๆ
  • สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: C(A + B) = CA + CB สำหรับเมทริกซ์ A และ B ขนาด m \times n และ C ขนาด k \times m ใดๆ
คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ A ขนาด m \times n และ B ขนาด n \times p ใดๆ
  • ถ้า m \neq p แล้ว ผลคูณ BA ไม่มีนิยาม
  • แม้ m = p แต่ถ้า m \neq n แล้ว AB เป็นเมทริกซ์ขนาด m \times m ส่วน BA เป็นเมทริกซ์ขนาด n \times n ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
  • แม้ m = n = p แต่ส่วนมากแล้ว AB มักจะมีค่าไม่เท่ากับ BA ยกตัวอย่างเช่น

\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & 4\\
5 & 6
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
3 & 4\\
10 & 12
\end{bmatrix}
\neq
\begin{bmatrix}
3 & 8\\
5 & 12
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
3 & 4\\
5 & 6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}
เรากล่าวว่าเมทริกซ์ A แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์ B ถ้า AB = − BA เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด
ข้อสังเกตุ i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column

 การสลับเปลี่ยน

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m×n คือ AT ขนาด n×m ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ Atr, หรือ tA, หรือ A' ) ซึ่ง AT[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น
\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}
                                           
                                                                                   

เมทริกซ์จัตุรัส

เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด n × n ยกเว้น n= 1
เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย In ขนาด n คือเมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด มีคุณสมบัติ MIn = M และ InN =  N สำหรับทุกๆเมทริกซ์M ขนาด m × n และเมทริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:


\mathbf{I}_3 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ

  • เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นก็คือ\mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{A} หรือ ai,j = aj,i สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
  • เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ \mathbf{A}^\mathrm{T}=-\mathbf{A}หรือ ai,j = − aj,iสำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
  • เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับสมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้a_{i,j}=\overline{a}_{j,i} หรือเขียนแทนด้วยการสลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า \mathbf{A}^\ast = \mathbf{A}
  • เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนานเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ\,\! a_{i,j}=a_{i+1,j+1}


ที่มา
http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9%8C_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)